Serie Armoniche

---

Index

1. Serie Armonica
2. Serie Armonica Generalizzata
3. Serie Armonica a Segni Alterni
4. Serie Armonica Modificata

---

Serie Armonica

Definition

Si dice serie armonica la serie numericha di tipo:

$$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}=+\infty$$

È una serie a termini positivi e diverge sempre positivamente indipendentemente dal valore di $n$.

oss

Essendo una serie a termini positivi non può essere indeterminata (oscillante)

---

Serie Armonica Generalizzata

Definition

Sia $\alpha$ un numero reale positivo, si dice serie armonica generalizzata:

$$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{\alpha }}=\{\begin{array}{ll}\text{Converge}& se\alpha >1\\ \text{Diverge}& se\alpha \le 1\end{array}$$

• É una Segno di una serie indipendentemente dal valore di $\alpha$.
• Quindi è non può essere una serie irregolare (indeterminata)

---

Serie Armonica a Segni Alterni

Definition

Sia $\alpha$ un numero reale positivo, si dice serie armonica generalizzata:

$$\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n^a}=\{\begin{array}{ll}\text{Converge assolutamente}& \text{se }\alpha >1\\ \text{Diverge semplicemente}& \text{se }0<\alpha <1\end{array}$$

Per capire meglio questi risultati leggere Criterio della convergenza assoluta (Serie)

---

Serie Armonica Modificata

Definition

Sia un numero reale positivo, si dice serie armonica modificata:

$$\sum _{n=2}^{+\infty }\frac{1}{n^{\alpha }\cdot (\log n{)}^{\beta }}=\{\begin{array}{ll}\text{Converge}& \text{se }\alpha >1\\ \text{Converge}& \text{se }\alpha =1e\beta >1\\ \text{Diverge positivamente}& \text{se }\alpha >1e\beta \le 1\\ \text{Diverge positivamente}& \text{se }\alpha <1\end{array}$$

---