Serie Numeriche

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Index

1. Definizione di Serie
2. Successione delle somme parziali
3. Limite somme parziali
4. Limite della Successione
5. Esempi

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Definizione di Serie

Serie

Data una successione reale $\{a_n\}$, si chiama serie dei termini $a_n$ la somma degli infiniti termini della successione

La serie viene indicata con ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ che si legge serie o somma per $n$ che va da $0$ a $\infty$ di $a_n$

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Successione delle somme parziali

Una successione delle somme parziali della serie $\{S_n\}$ è la somma tra gli elementi di una serie finita.

Definizione

Data $\{a_k{\}}_{k\in \mathbb{N}}$ poniamo $S_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k$

• dove $S_n$ è la successione delle somme parziali.

Esempio

• $S_0=a_0$
• $S_1=a_1+a_2$
• $S_3=a_1+a_2+a_3$

$S_n=a_0+a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k$

oss

Se esiste limite per $n\to \infty$ di $S_n$ allora quel limite definisce la serie numerica. ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{S}_n={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=0}^n{a}_k$

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Limite somme parziali

Facendo il limite a $+\infty$ si una somma parziale $\{S_n\}$ possiamo ottenere 4 possibili risultati diversi:

$$S_n=\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_k$$

Serie convergente ad un numero finito

${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n=\ell \in \mathbb{R}$

Serie divergente a +∞

${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n=+\infty$

Serie divergente a -∞

${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n=-\infty$

Serie indeterminata

${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n\text{ non esiste}$

• ovvero se successione $\{S_n\}$ è oscillante $⟹$ ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$ è indeterminato

oss

Una serie a positivi non pò essere indeterminata

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Limite della Successione

$a_n$ non Infinitesima

• Se ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n\ne 0$
• Allora ${\sum }_{n=1}^{+\infty }{a}_n=+\infty$ (diverge)

$a_n$ Infinitesima

Se $a_n$ è infinitesima

• Se ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$
• Allora non sappiamo come si comporta ${\sum }_{n=1}^{+\infty }{a}_n$

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Esempi

Serie convergente

$a_n=0\forall n\in \mathbb{N}$ ⇒ $S_n=0\forall n\in \mathbb{N}$

• Quindi ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n\text{ converge a }0$

Serie divergente a +∞

$a_n=1\forall n\in \mathbb{N}$ ⇒ $S_n=n+1\forall n\in \mathbb{N}$

• Quindi ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n\text{ diverge a }+\infty$

Serie divergente a -∞

$a_n=-1\forall n\in \mathbb{N}$ ⇒ $S_n=-(n+1)\forall n\in \mathbb{N}$

• Quindi ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n\text{ diverge a }-\infty$

Serie Indeterminata

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