Serie Geometriche

---

Indice

1. Serie geometriche
2. Somme parziale geometrica
3. Limite di somme parziali geometriche
4. Esempi

---

---

Serie geometriche

Definizione

Sono un tipo di Serie Numeriche con struttura:

$$S_n=\sum _{n=0}^{\infty }{q}^n$$

dove $q\in \mathbb{R}$ è detta serie geometrica di ragione q

---

Limite Serie Geometrica

Definizione

$$S_n=\sum _{k=0}^n{q}^k=1+q+q^2+\cdots +q^n=\{\begin{array}{ll}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}& \text{se }q\ne 1\\ n+1& \text{se }q=1\end{array}$$

Limite

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\{\begin{array}{ll}+\infty & \text{se}q\ge 1\\ \frac{1}{1-q}& \text{se}-1<q<1(q\ne 0)\\ \text{non esiste}& \text{se }q\le -1\end{array}$$

Quindi:

$$\sum _{n=0}^{\infty }{q}^n\text{ eˋ}\{\begin{array}{ll}\text{Divergente}& \text{se}q\ge 1\\ \text{Convergente (ad }\frac{1}{1-q}\text{)}& \text{se}-1<q<1(q\ne 0)\\ \text{Indeterminata}& \text{se }q\le -1\end{array}$$

oss

Se $q\ge 1$ allora è una serie a segni alterni (non dimostrabile con Criterio di Leibniz (Serie) o Criterio della convergenza assoluta (Serie))

---

Esempi

Esempio: