Serie Telescopiche

---

Index

1. Introduzione
2. Forma esplicita
3. Serie Telescopica Generale
4. Esempi

• Serie di mengoli
• Altri esempi

---

Introduzione

Le Serie Telescopiche sono un tipo di Serie Numeriche che effettuano la somma degli elementi di Successioni in cui sono perenti sia termini positivi che negativi che si "mangiano" a vicenda, lasciando come risultato la somma di alcune dei termini della successione.

oss

Le Serie Telescopiche e leSerie Geometriche sono tra le poche serie di cui si riesce a calcolare esplicitamente il risultato della somma.

---

Forma Esplicita

Si dice Serie Telescopica una serie del tipo:

$$\sum _{n=1}^{+\infty }(b_n-b_{n-k})$$

oppure

$$\sum _{n=m}^{+\infty }(b_{n-k}-b_n)$$

Trovare forma esplicita

La difficoltà più grande delle serie telescopiche è trovare forma esplicita.

Infatti è possibile trovare serie telescopiche (ovvero serie che si comportano nel modo descritto in Introduzione) ma che non sono scritte in Forma Esplicita.

Vedere Esempi.

---

Serie Telescopica Generale

Teorema

Se

• Abbiamo una serie $S_n$ telescopica nella Forma Esplicita

Allora:

• Il risultato della somma è uguale a: $S_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$
• La il carattere della serie $S_n$ dipende dal limite della successione $a_n$ ovvero:

$$S_n=\{\begin{array}{ll}\text{Converge}& \text{se }{\lim }_{n\to +\infty }{a}_n=\ell \in \mathbb{R}\\ \text{Diverge a}\pm \infty & \text{se }{\lim }_{n\to +\infty }{a}_n=\pm \infty \\ \text{Indeterminato}& \text{se }{\lim }_{n\to +\infty }{a}_n\text{ non esiste}\end{array}$$

---

Esempi

Serie di Mengoli

$$S_n=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$

Usando Teorema:

• ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n}=0$ quindi $S_n$ converge

Infatti:

Dove:

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left[1-\frac{1}{n+1}\right]=1$$

Quindi:

$$\text{La serie }\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n(n+1)}\text{converge a }1$$

Serie di cui non so il nome

$$S_n=\sum _{n=1}^{+\infty }\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$$

Dove $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ può essere riscritto come:

$$a_n=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln \left(\frac{1+n}{n}\right)=\ln (n+1)-\ln (n)$$

Usando Teorema:

• ${\lim }_{n\to \infty }\ln (n)=+\infty$, quindi $S_n$ diverge

Infatti:

Dove:

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }[\ln (n+1)]=+\infty$$

Quindi:

$$\text{La serie }\sum _{n=1}^{+\infty }\ln (1+n)\text{diverge a }+\infty$$