Criterio del confronto asintotico (Serie)

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Index

1. Introduzione
2. Teorema
3. Teorema unito con Criterio del confronto (Gauss)
4. Esempi

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Introduzione

Il criterio del confronto asintotico ci permette di dire che una determinata serie $a_n$ ha (o no) lo stesso carattere di una serie $b_n$, se $a_n$ e $b_n$ sono asintoticamente equivalenti.

Questo ci permette di trovare il carattere di una serie confrontandola con serie più semplici da studiare come Serie Armoniche e Serie Geometriche.

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Teorema

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Siano $a_n,b_n\ge 0\forall n\in \mathbb{N}$ (successioni a termini positivi) e $b_n\ne 0$

Se:

$$a_n\sim b_n\text{Ovvero}\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=1$$

Allora:

$$\text{Le serie }\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_{n}e\sum _{n=1}^{+\infty }{b}_n\text{ hanno lo stesso carattere}$$

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Teorema unito con Criterio del confronto (Gauss - Serie)

Siano:

• $a_n,b_n\ge 0\forall n\in \mathbb{N}$ (successioni a termini positivi)
• $b_n\ne 0$

$a_n\sim b_n$

Quando:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\ell \in (0,+\infty )\text{(numero finito)}$$

Allora:

• $\sum a_n$ ha lo stesso carattere di $\sum b_n$

$a_n>b_n$

Quando:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=+\infty$$

Allora:

• se $\sum b_n$ diverge allora $\sum a_n$ diverge

$a_n<b_n$

Quando:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=0$$

Allora:

• se $\sum b_n$ converge allora $\sum a_n$ converge

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Esempi